PMA笔记之从1开始的数域构造
前言：
- 为什么不是从0开始？首先,我对自然数的印象就是不包括0的,而我想从自然数开始.其次,从1开始表示读者最好有一点高中数学基础.我也不清楚需要什么基础,但是不建议初中生在没学过高中数学的情况下读这篇文章.
- 这是Evarine看Rudin的
Principles of Mathematical Analysis,也就是大家所说Baby Rudin的笔记.所以思路基本遵循PMA.或者说,这就是PMA第一章的读书笔记,尽管由于讲了过多的Peano算数和原著关系已经不大了.
你是一名普通的高中生.你觉得老师对于数的定义太不严谨了,或者在与认为0.999...不等于1的民科对线时被气疯了.于是你想自己搓一个好看的数系.
你的思想政治知识告诉你,万事都应该有个基础,于是你先给出了一个元素：1.
Chapter 1 从1到\(\mathbb N\)：Peano公理
你知道正整数之间相差1.也就是说,正整数都可以从1构造出来.为此,你决定使用你的算法知识：递归来描述这种性质.
首先,1是正整数.也就是说,\[\mathrm N1:1 \in \mathbb N\]
然后,1+1是正整数.因为加法需要在至少自然数中定义才能封闭,所以你想起了编程常用的i++,认为可以仿照++做一个函数.
你给它取名为succ.并规定\[\mathrm N2: n \in \mathbb N \rightarrow succ(n) \in \mathbb {N}\]
但是你并没有想着直接构造出整数.所以你不希望有某个正整数+1等于1.于是你规定\[\mathrm N3: \forall n \in \mathbb N, succ(n) \neq 1\]
你认为succ函数应该是一个单射不然之后Chapter4没有逆元了.于是你规定\[\mathrm N4: \forall a, b\in \mathbb N, succ(a)=succ(b) \rightarrow a=b\]
也许你认为这不太严谨,鉴于你并没有定义什么是"\(=\)".那么可以尝试使用这个定义\(:(a = b) \iff (a \in S \iff b \in S)\)就像接下来第五条公理一样.注意这其中表明的思想:物的存在是其所做.或者你也可以叫它"鸭子理论"
你认为正整数都应该由1得来,而不是另有一条链,比如\(S = \{i, succ(i), succ(succ(i)),...\}(i \notin \mathbb N), S \cup \mathbb N\)明显不应该是你希望构造出的数系.也就是说,由1出发可以通往所有正整数.为了达成这个目标,你想起了数学归纳法,但是你认为谓词是个麻烦的东西,而且你自己也不清楚自己有没有掌握,也就是\[ \mathrm N5: (1 \in S , \forall n \in \mathbb N, n \in S \rightarrow succ(n) \in S ) \rightarrow \mathbb N \subset S\]
这样以后,你认为你已经完成了对自然数的定义.但是你认为只有一批数是不够的.还需要对这些数施加除了succ以外的运算,比如加法,比如乘法.
Chapter 2 加法与乘法
对于加法,你准备按照类似定义自然数的方法定义它.首先,\[A1:\forall n \in \mathbb N, 1+n=succ(n)\].当然.这本来是函数\(succ\)的"原本意义".为了将它扩展到所有自然数,应当加上另外的这条公理\[A2:\forall n, m \in \mathbb N, succ(n)+m=succ(n+m)\]
可以证明:(具体证明可能会之后补,可能就空着了,但是证明不难,多用几遍归纳法就可以了)
\(\forall n, m \in \mathbb N, n+succ(m)=succ(n+m)\)(后面两条的基础)
\(\forall n, m \in \mathbb N, n + m = m + n\)(交换律)
\(\forall n, m, p \in \mathbb N, n + m + p = n + (m + p)\)(结合律)
对于乘法,就像小学作为加法的扩展,我们用加法定义.
同样,\[ \mathrm M1:\forall n \in \mathbb N, 1 \times n = n \] \[\mathrm M2:\forall n, m \in \mathbb N, n \times succ(m) = n \times m + n\]
给出了乘法的定义.
同上,我们可以证明结合律,交换律和分配律.
Chapter 3 序和有序集
除了数与数的计算,你同样想定义一下数与数的关系.比如\(<\)和\(\leq\).
对于\(<\),就像你在给结构体排序的时候一样,你认为它可以是一个函数$cmp(a, b) (a, b N), cmp(a, b) {0, 1} \(,满足以下两条公理:\)\(\mathrm L1: \forall n \in \mathbb N, cmp(n, succ(n)) = 1;\)$ \[ \mathrm L2: \forall p, q, r \in \mathbb N, (cmp(p, q)=1, cmp(q, r)=1) \rightarrow cmp(p, r) = 1 ;\] 明显的,函数\(\forall m, n \in \mathbb N, cmp(m, n) = 1\)满足以上所有条件,但是这样就太无聊了,也不是你的本意,于是你制定了第三条公理. \[\mathrm L3:cmp(m, n) = 1 \rightarrow cmp(n, m) = 0\]
此时,\(\forall n,m \in \mathbb N, cmp(n, m) = 1, cmp(m, n) = 1, m = n\) 有且只有一个成立.我们称\(\mathbb N\)为"有序集"
Chapter 4 从\(\mathbb N\)到\(\mathbb Z\)：减法与群
从Chapter2中,你可以推导出消去律\(\forall p, q, r \in \mathbb N, p+q=r+q \rightarrow p=r\).(具体推导过程可能会补,但还是那句话:读者自证不难).看到这个命题,你本来有一种"两边同减去p"的冲动,但是突然想起减法还没有定义.而这正是我们在这一个章节将要进行的.
对于减法,我们的最初印象大概是加法的逆运算.于是我们自然的有了这样一条公理: \[S: \forall p, q, r \in \mathbb N, (p+q=r) \rightarrow (r-q=p, r-p=q)\]
但是如此我们就会发现减法并不是封闭的运算。譬如\(1-2\)在\(\mathbb N\)内是没有意义的。为了把这个运算延展到整个正整数集上，你求助于负数。当然，在此之前要把\(0\)定义了。一个显然的定义是：\(0:=p-p(p \in \mathbb N)\).但是最好还是检查一下它是否自洽。
\(\forall p, q \in \mathbb N, p+q=p+q,\)故\(p\)
\(\forall a \in \mathbb N, \mathrm{def} -a, a+(-a)=0\)